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La Ciencia Helenística

Las Matemáticas y la Geografía en el helenismo.

Las matemáticas: Euclides y Apolonio

Las Matemáticas y la Geografía helenística.
Las Matemáticas y la Geografía helenística.

Debido al estilo peculiar del pensamiento griego, sin lugar a dudas fue la matemática la ciencia que gozó de mayor aprecio, desde Pitágoras hasta Platón. Recordemos que la tradición afirma que, en la entrada de la Academia, Platón hizo grabar la siguiente inscripción: «Que no entre quien no sea geómetra.» Tanto en los pitagóricos como en el platonismo, hemos constatado cuál fue la función y cuál el influjo que ejerció la matemática.

 

Euclides.

 

A Euclides, uno de los primeros científicos que se trasladó a Alejandría, le correspondió el honor de construir la summa del pensamiento matemático griego a través de los Elementos, cuyo planteamiento conceptual siguió siendo válido hasta prácticamente el siglo XIX. No conocemos casi nada acerca de la vida de Euclides. Los datos que poseemos nos llevan a situar el punto culminante de su existencia hacia el 300 (se suele considerar como probables las fechas 330-277 a.C.). Se han conservado también otras obras de Euclides (los Datos, la Óptica, los Cálculos, que nos han llegado en su versión árabe), pero son menos significativas. Si fuese verdad una anécdota que nos refiere Proclo, su carácter quedaría ejemplificado de modo elocuente: al preguntarle el rey Ptolomeo si no habría un camino más sencillo para introducirse en la matemática, Euclides, respondió: «En las matemáticas no hay caminos regios.»

El procedimiento utilizado en los Elementos es el del discurso axiomático: una vez establecidas ciertas cosas, de ellas se siguen otras por necesidad, concatenadas estructuralmente. Las estructuras de la deducción, tal como aparecen en la lógica aristotélica, operan de una manera muy precisa, al igual que su planteamiento teórico general. Y ya que el planteamiento de la lógica aristotélica implica definiciones, principios o axiomas comunes y postulados específicos para cada ciencia, los Elementos de Euclides presentan asimismo una serie de definiciones, cinco postulados y los axiomas comunes. Las definiciones sirven para calibrar los términos que entran en el razonamiento; los axiomas comunes constituyen especificaciones del principio de no contradicción, sobre el cual según Aristóteles hay que basarse para desarrollar cualquier clase de discurso lógico. Por su parte los postulados son supuestos fundamentales, de carácter básicamente intuitivo (y, por lo tanto, inmediatos, no demostrables, no mediados por otra noción) que configuran el substrato mismo del razonamiento. Como se sabe, el quinto postulado ha planteado gran cantidad de problemas y, en el intento de resolverlos, nacieron las geometrías no euclidianas.

Hemos de advertir que Euclides, entre los procedimientos de argumentación, utiliza con frecuencia el método de la reducción al absurdo, que no es otro que el célebre elenchos, poseedor de una historia gloriosa que se inicia con la escuela eleática y, en particular, con los famosos argumentos de Zenón (cf. cap. II, p. 60s), y prosigue con Gorgias y la dialéctica socrática, con Platón y con Aristóteles.

Además de este método, Euclides apela también al que más tarde recibirá el nombre de «método de exhaustión», aplicado sobre todo en sus últimos libros, pero que en el décimo se formula por vez primera de manera paradigmática: «Suponiendo que se nos han dado dos magnitudes desiguales, si se substrae de la mayor una magnitud más grande que la mitad, a lo que queda se le quita otra magnitud mayor que la mitad, y se continúa así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor que se ha supuesto en un principio.» El ejemplo que acostumbra a exponerse para aclarar de manera intuitiva esta proposición es el siguiente: sean A la magnitud mayor, por ejemplo, un círculo, y B la menor. Ahora, restemos al círculo un tamaño mayor que su mitad, por ejemplo, inscribiendo en él un cuadrado (y restando, así, la superficie del cuadrado de la del círculo). Restaremos después a lo que queda otra magnitud mayor que la mitad, por ejemplo, buscando los arcos determinados por los lados del cuadrado y obteniendo así un octágono, que restaremos a la superficie del círculo. Si continuamos procediendo de este modo, bisecando una y otra vez, obtendremos un polígono que se aproxima cada vez más al círculo y, por lo tanto, una magnitud tal que, restada de la del círculo, será menor que la magnitud B supuesta al principio, sea ésta cual fuere. Por este camino, se hace siempre posible hallar una magnitud que sea más pequeña que otra dada, por reducida que sea ésta, porque no existe una magnitud mínima. A. Frajese ha recordado oportunamente, a este propósito, que Anaxágoras afirmaba que siempre existe un más pequeño que lo pequeño (infinita divisibilidad de las homeomerías), al igual que siempre hay algo más grande con respecto a cualquier cosa grande. El antecedente de este método, por tanto, se encuentra en Anaxágoras.

Para dar una idea de la riqueza de contenido de los Elementos, recordemos con brevedad los temas que allí se tratan. En los libros I – IV se expone la geometría del plano, en el V la teoría de las proporciones, que en el VI se aplica a la geometría del plano. Los libros VII, VIII y IX versan sobre la teoría de los números, en el X se estudia lo que suele denominarse irracionalidad algebraica, mientras que en los tres últimos libros se trata la geometría del espacio. A menudo se ha debatido la originalidad del contenido de estos Elementos. Está fuera de duda que Euclides aprovechó todo lo que los griegos habían pensado al respecto durante los tres siglos anteriores.

Sin embargo, tampoco cabe la menor duda de que su genialidad consiste en la síntesis realizada: es sobre todo gracias a la forma de esta síntesis que la matemática griega pasó a la historia.

 

Apolonio

 

Después de Euclides y dejando de un lado a Arquímedes, del cual hablaremos enseguida, el más grande matemático griego fue Apolonio de Pergamo, que vivió en la segunda mitad del siglo III a.C. Estudió en Alejandría, pero enseñó en Pérgamo. Han llegado hasta nosotros sus Secciones cónicas. El tema no era del todo nuevo, pero Apolonio replanteó a fondo la cuestión, la expuso de manera rigurosa y sistemática, e introdujo, asimismo la terminología técnica necesaria para designar los tres tipos de secciones de cono: elipse, parábola, e hipérbole. Los historiadores de la matemática consideran que las Secciones cónicas son una obra maestra de primera magnitud, por lo que los autores modernos poco han podido agregar en este terreno. Si Apolonio hubiese aplicado sus descubrimientos

a la astronomía, habría revolucionado las teorías griegas acerca de las órbitas planetarias. Como es sabido, sin embargo, tal aplicación no se llevará a cabo hasta Kepler, en la edad moderna.

 

 Eratóstenes, y la Geografía

                 

La obra de Eratóstenes comportó una sistematización de la geografía.

El rey Ptolomeo II le llamó a Alejandría en el 246 para que ocupase el cargo de director de la Biblioteca, como ya hemos recordado. Fue amigo de Arquímedes y estaba versado en muchos campos del saber, sin llegar a dominar ninguno de una forma concluyente. Su mérito histórico reside en haber aplicado la matemática a la geografía y en haber dibujado el primer mapamundi ajustado al criterio de los meridianos y los paralelos.

Basándose en cálculos ingeniosos y elaborados con corrección metodológica Eratóstenes logró calcular también las dimensiones de la Tierra. El resultado que obtuvo fue una circunferencia de 250 000 estadios de extensión (o de 252 000 estadios, según otras fuentes). En la antigüedad el valor del estadio no era siempre el mismo; sin embargo, si es cierto que el estadio adoptado por Eratóstenes fue el de 157,5 metros, la cifra resultante es inferior en sólo unas cuantas decenas de kilómetros a la que se calcula en la actualidad.

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